od praktyki do teorii

udało mi się rozwiązać (chyba dobrze) zadanie:

„Rzucamy n razy uczciwą monetą. Generujemy w ten sposób ciąg zmiennych losowych X_1, … X_n o wartościach ze zbioru {0,1}. Niech S_n będzie sumą wyników. Pokaż, że dla każdej ustalonej liczby naturalnej k prawdopodobieństwo Pr[ „S_n jest podzielne przez k”] dąży do 1/k przy n dążącym do nieskończoności.”

może nie specjalnie trudne (choć dla mnie to i tak za trudne), ale za to chciałem się pochwalić metodologią, jaką się posłużyłem… bo kartka i długopis by mi nie wystarczyły ;(

najpierw przetłumaczyłem sobie to zadanie na mój: „suma binarnych ciągów to po prostu losowa liczba z przedziału <0,n> – pomijam, że rozkład prawdopodobieństwa jej wylosowania nie jest równomierny, tylko Gaussowski (μ = n/2)”

następnie zweryfikowałem empirycznie, czy rzeczywiście liczba dzielnych dla których n%k == 0 dąży do hiperboli: nie udało mi się narysować wykresu, ale za to dało się suwakiem przesuwać wartości funkcji 1/k (niebieska) i w/w (czerwona) po wykresie

widać, że czerwona zdąża do hiperboli coraz mniejszymi schodkami od dołu – schodek jest, czyli mają równe wartości dla tych k, dla których n%k=0) => widać, że prawdopodobieństwo jest 1/k gdy n jest podzielne przez k, w pozostałych przypadkach jest mniejsze o… no właśnie o co mniejsze?

do tego doszedłem empirycznie badając różnicę między funkcjami – okazało się, że to prawdopodobieństwo jest mniejsze od 1/k o n%k/nk

mając prawdopodobieństwo, rozpisałem formalnie wzory na granice (patrz screenshot) i chyba jest OK😉

ale ciągle nie wiem, czemu takie to prawdopodobieństwo ma być🙂

załącznik (czemu można do WordPress wrzucać .odt, a nie można .ods?):

Tagi: , , ,

Jedna odpowiedź to “od praktyki do teorii”

  1. Marek Kopel Says:

    już wiem!
    bo to prawdopodobieństwo to jest całkowita liczba dzielnych z przedziału 0,n podzielnych przez k w stosunku do całego przedziału = floor(n/k)/n = n-mod(n,k)/kn , a to już jest wzór w granicy na screenshoot’cie

Skomentuj

Please log in using one of these methods to post your comment:

Logo WordPress.com

Komentujesz korzystając z konta WordPress.com. Log Out / Zmień )

Zdjęcie z Twittera

Komentujesz korzystając z konta Twitter. Log Out / Zmień )

Facebook photo

Komentujesz korzystając z konta Facebook. Log Out / Zmień )

Google+ photo

Komentujesz korzystając z konta Google+. Log Out / Zmień )

Connecting to %s


%d bloggers like this: